Question

4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O^ˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O^ˊ的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC．
①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；
（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC²=OA•OB，又由AC=2BC则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案．

解答 （1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O′的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，
即OC²=OA•OB，
∵AC=2BC，
∴tan∠CAO=tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
解得CO₁=4，CO₂=0（舍去），
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{64a-8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴$\frac{O′F}{AF}$=$\frac{O′C}{AD}$，
∴O′F•AD=O′C•AF，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=$\frac{10}{3}$，F（$\frac{16}{3}$，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{\frac{16}{3}k+m=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{m=4}\end{array}\right.$，
∴直线DC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+4，
由y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$得顶点E的坐标为（-3，$\frac{25}{4}$），
将E（-3，$\frac{25}{4}$）代入直线DC的解析式y=-$\frac{3}{4}$x+4中，
右边=-$\frac{3}{4}$×（-3）+4=$\frac{25}{4}$=左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上．

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．