Question

9．如图，已知抛物线 y=-x²+mx+4m 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）抛物线上是否存在点E，使△ABE的面积为15？若存在，请求出所有符合条件E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结BD，动点P在线段BD上运动（不含端点B、D），连结CP，过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．试探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只需把点C的坐标代入抛物线的解析式，就可求出抛物线的解析式，然后用配方法就可求出顶点D的坐标；
（2）可先求出A、B两点的坐标，得到AB的值，根据△ABE的面积可求出点E的纵坐标，代入抛物线的解析式，就可求出点E的坐标；
（3）可先求出DB的解析式，从而得到PH（用t的代数式表示），然后用t的代数式表示出梯形PCOH的面积，再运用配方法就可解决问题．

解答 解：（1）∵点C（0，8）在抛物线y=-x²+mx+4m 上，
∴4m=8，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8．
∵y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴顶点D的坐标为（1，9）；

（2）令y=0，则-x²+2x+8=0，
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，OB=4，AB=6．
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$×AB×|y_E|=3|y_E|=15，
∴y_E=±5．
当y_E=5时，-x²+2x+8=5，
解得：x₃=3，x₄=-1．
当y_E=-5时，-x²+2x+8=-5，
解得：x₅=1+$\sqrt{14}$，x₆=1-$\sqrt{14}$．
∴点E的坐标为（3，5），（-1，5），（1+$\sqrt{14}$，-5），（1-$\sqrt{14}$，-5）；

（3）设DB的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=9}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴DB的解析式为y=-3x+12．
∵OH=t，
∴P（t，-3t+12），PH=-3t+12，
∴S=$\frac{1}{2}$（8-3t+12）t=-$\frac{3}{2}$t²+10t=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{10}{3}$）²+$\frac{50}{3}$．
∵1＜t＜4，
∴当t=$\frac{10}{3}$时，S最大=$\frac{50}{3}$．

点评 本题主要考查了用待定系数法求抛物线及直线的解析式、解一元二次方程等知识，运用配方法是解决本题的关键，需要注意的是点E到x轴的距离为|y_E|，而不是y_E．