Question

13．如图，抛物线y=（x-1）²+m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且AB=4；
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D、E两个不同的点，求k的取值范围；
（3）M为线段OB上一点（不含O、B两点）过点M作y轴的平行线交抛物线于点N，交线段BC于点P，若△PCN为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设A（a，0），B（b，0），再根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，求出a、b的值，代入抛物线的解析式即可得出m的值，进而得出其解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式得出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设平移后的解析式为y=x²-2x-3+k，再由将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D、E两个不同的点得出△＞0，求出k的取值范围即可；
（3）设M（m，0），则P（m，m-3），N（m，m²-2m-3），再根据两点间的距离公式用m表示出PN，PC及NC的长，再分PC=PN，PC=CN及PN=CN三种情况进行讨论．

解答 解：（1）设A（a，0），B（b，0），
∵抛物线y=（x-1）²+m的图象与x轴交于A、B两点，AB=4，
∴其对称轴方程为x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{a+b}{2}=1\\ b-a=4\end{array}\right.$，解得a=-1，b=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴（-1-1）²+m=0，解得m=-4，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）∵抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-3\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
设平移后的解析式为y=x²-2x-3+k，则$\left\{\begin{array}{l}y=x-3\\ y={x}^{2}-2x-3+k\end{array}\right.$，
则x-3=x²-2x-3+k，整理得，x²-3x+k=0，
∵将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D、E两个不同的点，
∴△=b²-4ac=9-4k＞0，解得k＜$\frac{9}{4}$，
∴k的取值范围为0＜k＜$\frac{9}{4}$；

（3）如图，设M（m，0），则P（m，m-3），N（m，m²-2m-3），
∵C（0，-3），
∴PC=$\sqrt{{m}^{2}+（m-3+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$m，PN=（m-3）-（m²-2m-3）=3m-m²，CN=$\sqrt{{m}^{2}+（{m}^{2}-2m）^{2}}$，
当PC=PN时，$\sqrt{2}$m=3m-m²，解得m=3-$\sqrt{2}$，
∴M₁（3-$\sqrt{2}$，0）；
当PC=CN时，$\sqrt{2}$m=$\sqrt{{m}^{2}+{（{m}^{2}-2m）}^{2}}$，解得m=1或m=3（舍去），
∴M₂（1，0）；
当PN=CN时，3m-m²=$\sqrt{{m}^{2}+（{m}^{2}-2m）^{2}}$，解得m=2，
∴M₃（2，0）；
综上所述，M（2，0）或M（1，0）或 M（3-$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、等腰三角形的判定等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．