Question

【题目】如图，点A（1，0），B（0， ）分别在x轴和y轴上，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°.

（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；

（2）若点P（m， ）为坐标平面内一点，使得△APB与△ABC面积相等，求m的值.

Answer 1

【答案】(1)y=x+，点C(2， )；(2)m=或.

【解析】试题分析：

(1) 根据一次函数的一般形式，利用点A和点B的坐标，可以获得关于一般形式中待定系数的方程，求解这些方程即可确定直线AB的解析式. 要求点C的坐标，可以过点C作x轴的垂线CD，只要求得线段OD和CD的长即可. 由于已知线段OA的长，所以实际上只需要获得线段AD和CD的长. 利用已知条件可以求得线段AB的长和∠OAB的值，进而可以得到线段AC的长和∠CAD的值，利用Rt△CAD中的几何关系即可求得线段AD和CD的长.

(2) 根据点P坐标的特征和线段OB的长，可以确定点P在OB的垂直平分线上. 根据第(1)小题求得的线段长度易知△ABC的面积，也就得到了△APB的面积. 利用OB的垂直平分线将△APB的面积分割为两部分进行计算，不难获得△APB的面积与点P和线段AB的中点F的距离PF的关系式，进而可以求得线段PF的长. 通过两点之间距离的表达式可以求得点P的坐标，从而获得m的值.

试题解析：

(1)

如图，过点C作CD⊥OA，垂足为D.

设直线AB的解析式为y=kx+b (k≠0).

将点A的坐标(1, 0)与点B的坐标(0, )代入该直线的解析式，得

，

解之，得

.

∴直线AB的解析式为.

∵点A的坐标是(1, 0)，点B的坐标是(0, )，

∴OA=1，OB=，

∴在Rt△AOB中， .

∵在Rt△ABC，∠ABC=30°，

∴，

∵在Rt△ABC中，AB2=BC2-AC2=(2AC)2-AC2=3AC2=22=4，

∴AC=.

∵在Rt△AOB中， ，

∴∠OBA=30°，

∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠OBA=60°，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAD=180°-∠BAC-∠OAB=180°-90°-60°=30°.

∴在Rt△CAD中， ，

，

∴OD=OA+AD=1+1=2.

∴点C的坐标为(2, ).

(2)

如图，作线段OB的垂直平分线MN，交OB于点G，交AB于点F. 过点A作AE⊥MN，垂足为E.

∵OB=，点P的纵坐标为，

∴点P在OB的垂直平分线MN上.

∵Rt△ABC的面积为，

∴△APB的面积为，即△AFP的面积与△BFP的面积之和为，

∴.

∵AE+BG=OB=，

∴，

∴.

∵点F在OB的垂直平分线MN上，

∴，

∴点F的坐标为(， ).

∵点F的坐标为(， )，点P的坐标为(m， )，

∴，

∴或，

∴或，

即m的值为或.