Question

如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

（1）试说明AE²+CF²的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

Answer 1

解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF。
∵在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC，
∴△ABE≌△BCF（AAS）。
∴AE=BF。∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数。
（2）设AP=x，则PD=4﹣x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，∴△PDM∽△BAP。
∴，即。
∴。
∵＜0，当x=2时，DM有最大值为1。

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数。
（2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的二次函数，求出DM的最大值。