Question

18．如图所示，△ABC与△CDE都是等边三角形，AD与BE交于点M．
（1）求证：AD=BE；
（2）联结MC，求证：∠BMC=∠DMC．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，根据全等三角形的性质得到S_△ACD=S_△BCE，由于$\frac{1}{2}$AD•CH=$\frac{1}{2}$BE•CQ，于是得CQ=CH，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∵在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，
∵△ACD≌△BCE，
∴S_△ACD=S_△BCE，
∴$\frac{1}{2}$AD•CH=$\frac{1}{2}$BE•CQ，
∴CQ=CH，
∴CO平分∠BOD．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．