Question

7．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CE=$\frac{1}{2}$CD，求证：∠ACB=2∠B．

Answer 1

分析 延长EM交AB于F，过B作BG∥EF交AD的延长线于K，交AE的延长线于G，设AK，EF交于H，连接DG，根据角平分线的定义得到∠BAH=∠EAH，推出△AFH≌△AEH，于是得到FH=EH，证得AH垂直平分EF，AK垂直平分BG，根据线段垂直平分线的性质得到AB=AG，根据平行线等分线段定理得到CE=$\frac{1}{2}$CG，等量代换得到CD=CG，根据外角的性质得到∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CGD，推出△ABD≌△AGD，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：延长EM交AB于F，过B作BG∥EF交AD的延长线于K，交AE的延长线于G，设AK，EF交于H，连接DG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAH=∠EAH，
∵ME⊥AD，
∴∠AHF=∠AHE，
在△AFH与△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHF=∠AHE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△AEH，
∴FH=EH，
∴AH垂直平分EF，
∴AK垂直平分BG，
∴AB=AG，
∵EF∥BG，BM=CM，
∴CE=$\frac{1}{2}$CG，
∵CE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=CG，
∴∠CDG=∠CGD，
∵∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CGD，
在△ABD与△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠BAD=∠GAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AGD，
∴∠ABC=∠AGD，
∴∠ACB=2∠B．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．