如图.长方形ABCD中.AB=4cm.BC=9cm.点E.F分别在AD.BC上.且BF=DE=3cm.连接AF.CE．(1)求证:四边形AFCE是平行四边形,(2)动点P.Q分别从A.C两点同时出发.沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止.点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中:已知点P的速度为每秒5cm.点Q的速度为每秒4cm.运动时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．

如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=9cm，点E、F分别在AD、BC上，且BF=DE=3cm，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

分析（1）首先根据矩形的性质可得AD=BC，AD∥CB，再由BF=DE可得AE=FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得结论；
（2）首先分析出只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，然后利用勾股定理计算出AF长，再表示出t秒后PC、AQ的长，然后可的方程5t-5+6=13-4t，再解即可．

解答（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥CB，
∵BF=DE，
∴AD-DE=CB-BF，
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形（如图），
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵AB=4cm，BF=3cm，
∴AF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5（cm），FC=9-3=6（cm），
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t-5+6，QA=13-4t，
∴5t-5+6=13-4t，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{4}{3}$秒．

点评此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．

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