Question

11．已知a，b，c为△ABC的三边，且a为最大边，解方程：a（1+x²）+2bx+c（1-x²）=0．

Answer 1

分析 首先把原方程化为一般形式，然后根据求根公式即可求得结果．

解答 解：原方程可化为：（a-c）x²+2bx+（a+c）=0，
当三角形是锐角三角形时，
∵a为最大边，
∴a-c≠0，
∵△=4b²-4a²+4c²，
∵a，b，c为△ABC的三边，
∴△＞0，
∴x=$\frac{-2b±\sqrt{△}}{2（a-c）}$=$\frac{-2b±2\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}+{c}^{2}}}{2（a-c）}$=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}+{c}^{2}}}{a-c}$，
∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}+{c}^{2}}}{a-c}$，
x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}+{c}^{2}}}{a-c}$，
当三角形是直角三角形时，
∵△=4b²-4a²+4c²=0，
∴x₁=x₂=$\frac{-b}{a-c}$；
当三角形是钝角三角形时，△＜0，方程无实数根．

点评 本题考查了解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．