Question

16．如图，长方形ABCD中，AD=8cm，CD=4cm．
（1）若点P是边AD上的一个动点，当P在什么位置时，PA=PC？
（2）在（1）中，当点P在点P′时，有P′A=P′C，Q是AB边上的一个动点，若AQ=$\frac{15}{4}$时，QP′与P′C垂直吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）设PD=x，则PA=8-x，若PA=PC，则PC=8-x，由矩形的性质和勾股定理得出方程x²+4²=（8-x）²，解方程即可；
（2）先证出$\frac{AQ}{AP′}=\frac{P′D}{AP′}$，再由∠P′AQ=∠D=90°，得出△AP′Q∽△DCP′，得出对应角相等∠AP′Q=∠DCP′，由角的互余关系证出∠CP′Q=90°，即可得出QP′⊥P′C．

解答 解：（1）如图1所示：
设PD=x，则PA=8-x，
若PA=PC，则PC=8-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=90°，
根据勾股定理得：PD²+CD²=PC²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴当点P在距离点D3cm处时，PA=PC；
（2）QP′⊥P′C；理由如下：如图2所示：
由（1）得：AP′=5，
∵$\frac{AQ}{AP′}=\frac{\frac{15}{4}}{5}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{P′D}{AP′}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AQ}{AP′}=\frac{P′D}{AP′}$，
又∵∠P′AQ=∠D=90°，
∴△AP′Q∽△DCP′，
∴∠AP′Q=∠DCP′，
∵∠CP′D+∠DCP′=90°，
∴∠CP′D+∠AP′Q=90°，
∴∠CP′Q=90°，
∴QP′⊥P′C．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．