Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5cm，AC=3cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A₁B₁C的位置，则线段AB扫过区域（图中阴影部分）的面积为2πcm²．

Answer 1

分析 根据阴影部分的面积是：S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1，分别求得：扇形BCB₁的面积，S_△CB1A1，S_△ABC以及扇形CAA₁的面积，即可求解．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5cm，AC=3cm，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=4cm．
扇形BCB₁的面积是=$\frac{45π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25π}{8}$，
S_△CB1A1=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
S_扇形CAA1=$\frac{45π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{9π}{8}$．
故S_阴影部分=S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1=$\frac{25π}{8}$+6-6-$\frac{9π}{8}$=2π．
故答案为：2π．

点评 本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=S_扇形BCB1+S_△CB1A1-S_△ABC-S_扇形CAA1是关键．