Question

13．三角形的三边长分别是5cm，12cm，13cm，点P、Q分别为内心和外心，则PQ=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

Answer 1

分析 如图△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，点P、Q分别为内心和外心，作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D．在Rt△PQF中求出PF、FQ即可解决问题．

解答 解：如图△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，点P、Q分别为内心和外心，

作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D．
∵AB²+BC²=5²+12²=169，AC²=13²=169，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∵PD=PE=PF，∠B=∠PDB=∠PEB=90°，
∴四边形PDBE是矩形，
∵PD=PE，
∴四边形PDBE是正方形，设边长为a，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AB=$\frac{1}{2}$a•（AB+BC+AC），
∴$\frac{1}{2}$×5×12=$\frac{1}{2}$×a×30，
∴a=2，
∴AD=AF=5-2=3，
∵AQ=QC=6.5，
∴FQ=AQ-AF=3.5，
∴在Rt△PFQ中，PQ=$\sqrt{P{F}^{2}+F{Q}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+3．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

点评 本题考查三角形内切圆与内心、勾股定理以及逆定理、三角形的外接圆与圆心等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．