Question

16．两个大小不同的等腰直角三角板如图（1）所示放置，图（2）是由它的抽象出的几何图形（△ACB和△ECD是等腰直角三角形），连接AD，BE，BE的延长线与AD交于点F．
（1）证明：△ACD≌△BCE；
（2）证明：AD⊥BF；
（3）改变两个等腰直角三角形的位置如图（3）所示，（1）中的结论还成立吗？为什么？（2）中的结论呢？

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠EBC=∠CAD，再利用对顶角相等解答即可；
（3）仿照（1）和（2）中的证明解答即可．

解答 证明：（1）∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=EC，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠EBC+∠CEB=90°，∠CAD+∠AEF=90°，
∵∠CEB=∠AEF，
∴∠CAD+∠AEF=90°，
∴AD⊥BF；
（3）成立，
∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=EC，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠EBC+∠CEB=90°，∠CAD+∠AEF=90°，
∵∠CEB=∠AEF，
∴∠CAD+∠AEF=90°，
∴AD⊥BF．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACD≌△BCE．