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【题目】如图,四边形ABCD中,DAB=ABC=90°,AB=BC,E是AB的中点,CEBD

(1)求证:BE=AD;

(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;

(3)DBC是等腰三角形吗?并说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)DBC是等腰三角形.见解析

【解析】

试题分析:(1)利用已知条件证明DAB≌△EBC(ASA),根据全等三角形的对应边相等即可得到AD=BE;

(2)分别证明AD=AE,CE=CE,根据线段垂直平分线的逆定理即可解答;

(3)DBC是等腰三角形,由DAB≌△EBC,得到DB=EC,又有AEC≌△ADC,得到EC=DC,所以DB=DC,即可解答.

解:(1)∵∠ABC=90°

∴∠ABD+DBC=90°

CEBD

∴∠BCE+DBC=90°

∴∠ABD=BCE

ADBC

∴∠DAB=EBC

DABEBC中,

∴△DAB≌△EBC(ASA)

AD=BE

(2)E是AB的中点,即AE=BE,

BE=AD

AE=AD

点A在ED的垂直平分线上(到角两边相等的点在角的平分线上),

AB=BCABC=90°

∴∠BAC=BCA=45°

∵∠BAD=90°

∴∠BAC=DAC=45°

EACDAC中,

∴△EAC≌△DAC(SAS)

CE=CD

点C在ED的垂直平分线上

AC是线段ED的垂直平分线.

(3)DBC是等腰三角形

∵△DAB≌△EBC

DB=EC

∵△AEC≌△ADC

EC=DC

DB=DC

∴△DBC是等腰三角形.

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