【题目】如图,四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
(1)求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)△DBC是等腰三角形.见解析
【解析】
试题分析:(1)利用已知条件证明△DAB≌△EBC(ASA),根据全等三角形的对应边相等即可得到AD=BE;
(2)分别证明AD=AE,CE=CE,根据线段垂直平分线的逆定理即可解答;
(3)△DBC是等腰三角形,由△DAB≌△EBC,得到DB=EC,又有△AEC≌△ADC,得到EC=DC,所以DB=DC,即可解答.
解:(1)∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠DBC=90°,
∵CE⊥BD,
∴∠BCE+∠DBC=90°,
∴∠ABD=∠BCE,
∵AD∥BC,
∴∠DAB=∠EBC,
在△DAB和△EBC中,
∴△DAB≌△EBC(ASA)
∴AD=BE
(2)∵E是AB的中点,即AE=BE,
∵BE=AD,
∴AE=AD,
∴点A在ED的垂直平分线上(到角两边相等的点在角的平分线上),
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠BCA=45°,
∵∠BAD=90°,
∴∠BAC=∠DAC=45°,
在△EAC和△DAC中,
,
∴△EAC≌△DAC(SAS)
∴CE=CD,
∴点C在ED的垂直平分线上
∴AC是线段ED的垂直平分线.
(3)△DBC是等腰三角形
∵△DAB≌△EBC,
∴DB=EC
∵△AEC≌△ADC,
∴EC=DC,
∴DB=DC,
∴△DBC是等腰三角形.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,分别在AB的右侧、AC的左侧作等边△ABE和等边△ACD,BE与CD相交于点F,连接BD,若BD=BF,则∠BDF为__________度.
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【题目】如图,点E、F分别为线段AC上的两个点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AE=CF,BD交AC于点M.求证:
(1)AB∥CD;
(2)点M是线段EF的中点.
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【题目】矩形ABCD中,AB=3,AD=6,点E是边AD上的一个动点,把△BAE沿BE折叠,若点A的对应点A′恰落在矩形ABCD的对称轴上,则AE=_____.
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【题目】如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?如果有,分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
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【题目】有两种包装盒,大盒比小盒可多装20克某一物品.已知120克这一物品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒.
(1)问小盒每个可装这一物品多少克?
(2)现有装满这一物品两种盒子共50个.设小盒有n个,所有盒子所装物品的总量为w克.
①求w关于n的函数解析式,并写出定义域;
②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同,求所有盒子所装物品的总量.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.
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