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【题目】如图,已知ABC中,ABAC,分别在AB的右侧、AC的左侧作等边ABE和等边ACDBECD相交于点F,连接BD,若BD=BF,BDF__________.

【答案】20

【解析】

设∠BDF=α,由BD=BF可得∠BFD=α,则∠ADB=ABD=60°+α,利用三角形的内角和是180°即可求出∠BAD,利用三角形外角的性质可得∠AGC=60°+α,而∠ACD=60°,在△AGC中利用三角形的内角和是180°可得∠GAC,然后根据∠BAD+GAC=60°列出方程即可求出α的值.

解:设∠BDF=α

BD=BF

∴∠BFD=BDF=α

AB=AC,△ACD和△ABE都是等边三角形,

AD=AB,∠ADC=ABE=ACD=DAC=60°,

∴∠ADB=ABD=60°+α

在△ADB中,

BAD=180°-ADB-ABD=180°-(60°+α)-(60°+α)=60°-2α

∵∠AGC是△BGF的外角,

∴∠AGC=ABE+BFD=60°+α

在△AGC

GAC=180°-AGC-ACD=180°-(60°+α)-60°=60°-α

又∠BAD+GAC=DAC

60°-2α+60°-α=60°,

解得:α=20°.

故答案为:20

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