【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,分别在AB的右侧、AC的左侧作等边△ABE和等边△ACD,BE与CD相交于点F,连接BD,若BD=BF,则∠BDF为__________度.
【答案】20
【解析】
设∠BDF=α,由BD=BF可得∠BFD=α,则∠ADB=∠ABD=60°+α,利用三角形的内角和是180°即可求出∠BAD,利用三角形外角的性质可得∠AGC=60°+α,而∠ACD=60°,在△AGC中利用三角形的内角和是180°可得∠GAC,然后根据∠BAD+∠GAC=60°列出方程即可求出α的值.
解:设∠BDF=α,
∵BD=BF,
∴∠BFD=∠BDF=α.
∵AB=AC,△ACD和△ABE都是等边三角形,
∴AD=AB,∠ADC=∠ABE=∠ACD=∠DAC=60°,
∴∠ADB=∠ABD=60°+α,
在△ADB中,
∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-(60°+α)-(60°+α)=60°-2α.
∵∠AGC是△BGF的外角,
∴∠AGC=∠ABE+∠BFD=60°+α,
在△AGC中
∠GAC=180°-∠AGC-∠ACD=180°-(60°+α)-60°=60°-α,
又∠BAD+∠GAC=∠DAC,
∴60°-2α+60°-α=60°,
解得:α=20°.
故答案为:20.
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【题目】设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分,规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了______名学生,α=______b= ;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中D级对应的圆心角为______度;
(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?
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【题目】某校组织一项公益知识竞赛,比赛规定:每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队.但参赛时,每班只能有3名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程)
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【题目】阅读理解:数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合,树形转化的方法解决一些数学问题,小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=,他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y),P的坐标公式:x=,y=.
启发应用:
如图3:在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),⊙M经过原点O及点A,B,
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与⊙M的位置关系,并说明理由;
(3)若∠BOA的平分线交AB于点N,交⊙M于点E,分别求出OE的表达式y1,过点M的反比例函数的表达式y2,并根据图象,当y2>y1>0时,请直接写出x的取值范围.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,D、E分别在BC、AC上,且CD=AE,AD与BE相交于P,BQ⊥AD于Q.
(1)求证:;
(2)若PQ=4,PE=1,求AD的长.
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【题目】如图,菱形ABCD的较短对角线BD为4,∠ADB=60°,E、F分别在AD,CD上,且∠EBF=60°.
(1)求证:△ABE≌△DBF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a<b)的顶点为P(x0,y0),点A(1,yA),B(0,yB),C(﹣1,yC)在该抛物线上,当y0≥0恒成立时,的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
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【题目】用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗?为什么?
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
(1)求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.
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