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【题目】在矩形ABCD中,AB6AD8,点E是边AD上一点,EMBCAB于点M,点N在射线MB上,且AEAMAN的比例中项.

1)如图1,求证:∠ANE=∠DCE

2)如图2,当点N在线段MB之间,联结AC,且ACNE互相垂直,求MN的长;

3)连接AC,如果AEC与以点EMN为顶点所组成的三角形相似,求DE的长.

【答案】1)见解析;(2;(3DE的长分别为3

【解析】

(1)由比例中项知,据此可证AME∽△AEN得∠AEM=∠ANE,再证∠AEM=∠DCE可得答案;

(2)先证∠ANE=∠EAC,结合∠ANE=∠DCE得∠DCE=∠EAC,从而知,据此求得AE=8﹣,由(1)得∠AEM=∠DCE,据此知,求得AM,由求得MN

(3)分∠ENM=∠EAC和∠ENM=∠ECA两种情况分别求解可得.

解:(1)∵AEAMAN的比例中项

∵∠A=∠A

∴△AME∽△AEN

∴∠AEM=∠ANE

∵∠D=90°

∴∠DCE+∠DEC=90°

EMBC

∴∠AEM+∠DEC=90°

∴∠AEM=∠DCE

∴∠ANE=∠DCE

(2)∵ACNE互相垂直,

∴∠EAC+∠AEN=90°

∵∠BAC=90°

∴∠ANE+∠AEN=90°

∴∠ANE=∠EAC

由(1)得∠ANE=∠DCE

∴∠DCE=∠EAC

tanDCEtanDAC

DCAB=6,AD=8,

DE

AE=8﹣

由(1)得∠AEM=∠DCE

tanAEMtanDCE

AM

AN

MN

(3)∵∠NME=∠MAE+∠AEM,∠AEC=∠D+∠DCE

又∠MAE=∠D=90°,由(1)得∠AEM=∠DCE

∴∠AEC=∠NME

AEC与以点EMN为顶点所组成的三角形相似时

①∠ENM=∠EAC,如图2,

∴∠ANE=∠EAC

由(2)得:DE

②∠ENM=∠ECA

如图3,

过点EEHAC,垂足为点H

由(1)得∠ANE=∠DCE

∴∠ECA=∠DCE

HEDE

tanHAE

DE=3x,则HE=3xAH=4xAE=5x

AEDEAD

∴5x+3x=8,

解得x=1,

DE=3x=3,

综上所述,DE的长分别为或3.

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(4)作直线CD

所以直线CD就是所求作的垂线.

(1)请使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

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ACBC      

CDAB(依据:   ).

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