分析 （1）只需令y=0就可求出点A、B的坐标，把抛物线的解析式配成顶点式就可得到顶点D的坐标，根据条件AE：EB=1：2就可求出点E的坐标；
（2）显然，旋转后的直线上使得∠MEB=90°和∠EBM=90°的点M各有一个，要使满足条件的点M有且只有三个，只需旋转后的直线上使得∠EMB=90°的点M只有一个，由于点M在以BE为直径的⊙O上，因此旋转后的直线与⊙O只有一个交点，即该直线与⊙O相切于M，则OM⊥AM，如图1、图2，只需利用三角函数求出∠OAM，就可解决问题；
（3）设直线AP与y轴交于点Q，过点Q作QH⊥AC于H，如图3，通过解△ACQ就可求出QC，从而得到点Q的坐标，要求点P的坐标只需求出直线AP的解析式，由于点A、Q的坐标已知，只需运用待定系数法就可解决问题．
解答 解：（1）令y=0，得$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$=0，
解得x1=-4，x2=2，
∴A（-4，0），B（2，0）．
∴AB=2-（-4）=6，OA=4，
由y=$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}（x+1）^{2}-3$得D（-1，-3），
∵AE：EB=1：2，
∴AE=$\frac{1}{3}AB$=2，
∴OE=2，
∴E（-2，0）；
（2）显然，旋转后的直线上使得∠MEB=90°和∠EBM=90°的点M各有一个，
要使满足条件的点M有且只有三个，只需旋转后的直线上使得∠EMB=90°的点M只有一个，
由于点M在以BE为直径的⊙O上，因此旋转后的直线与⊙O只有一个交点，
即该直线与⊙O相切于M，则OM⊥AM，如图1、图2，
在Rt△AMO中，sin∠OAM=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAM=30°．
∵tan∠OAD=$\frac{3}{-1-（-4）}$=1，
∴∠OAD=45°，
∴t1=$\frac{45-30}{5}$=3，t2=$\frac{45+30}{5}$=15．
∴旋转时间为3秒或15秒；
（3）设直线AP与y轴交于点Q，过点Q作QH⊥AC于H，如图3，
则有∠PAC=45°，C（0，-$\frac{8}{3}$），OC=$\frac{8}{3}$．
∴tan∠ACO=$\frac{4}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{2}$，AC=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．
设HC=2x，由tan∠HCQ=$\frac{QH}{CH}$=$\frac{3}{2}$得QH=3x．
由tan∠QAH=$\frac{QH}{AH}$=1得AH=QH=3x，
∴AC=3x+2x=5x=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
∴x=$\frac{4\sqrt{13}}{15}$，
∴QC=$\sqrt{H{C}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{13}$x=$\frac{52}{15}$，
∴OQ=$\frac{52}{15}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$，
∴Q（0，$\frac{4}{5}$）．
设直线AP的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
∴直线AP的解析式为y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{13}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{33}{25}}\end{array}\right.$
∴点P的坐标为（$\frac{13}{5}$，$\frac{33}{25}$）．
点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、抛物线上点的坐标特征、直线与抛物线的交点问题、三角函数、勾股定理、圆周角定理、直线与圆相切等知识，综合性比较强，难度比较大，把问题转化为直线与圆的位置关系是解决第（2）小题的关键，通过解△ACQ求出QC是解决第（3）小题的关键．
第1卷单元月考期中期末系列答案科目：初中数学 来源：2017届江西省高安市九年级下学期第一次模拟考试数学试卷（解析版） 题型：判断题
甲、乙、丙、丁四人参加某校招聘教师考试，试后甲、乙两人去询问成绩。请你根据下面回答者对甲、乙两人回答的内容进行分析:
（1）列举出这四人的名次排列所有可能出现的不同情况
（2）求甲排在第一名的概率？
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科目：初中数学 来源：2017届湖北省大冶市九年级3月中考模拟数学试卷（解析版） 题型：判断题
如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2
，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
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