Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是________．

Answer 1

2+
分析：由题意可得当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，然后连接CD，由切线的性质，根据勾股定理，可求得AD的长，易证得△AOE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例，易求得OE的长，继而求得△ABE面积的最大值．
解答：解：当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，
连接CD，
则∠CDA=90°，
∵A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1，
∴CD=1，AC=2+1=3，
∴AD==2，
∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴，
即，
∴OE=，
∴BE=OB+OE=2+，
∴S_△ABE=BE•OA=×（2+）×2=2+．
故答案为：2+．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．