【题目】(感知)“如图①,,平分,作,、分别交射线、于、两点,连结,求的度数”为了求解问题,某同学做了如下的分析,
“过点作于点,于点,”进而求解,则________.
(拓展)如图②,一般地,设,平分,作,、分别交射线、于、两点,连结.
(1)求的度数.(用含的代数式表示)
(2)若,,,则________.
【答案】45;(1);(2).
【解析】
先证明四边形ODCE是矩形,得∠DCA=∠BCE,再证明△CAD≌△CBE(ASA),得AC=BC,进而可求得∠ABC;
(1)过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,证明△ACD≌△BCE(ASA),即可求得∠ABC;
(2)过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,证明△ACD≌△BCE(ASA),△OCD≌△OCE(HL),可求得OD=OE=5,再利用特殊角三角函数值即可.
解:【感知】如图①,∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠CDO=∠CEO=∠MON=90°,
∴四边形ODCE是矩形,
∴∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE,
∴∠DCA=∠BCE,
∵OC平分∠MON,
∴CD=CE,
∴△CAD≌△CBE(ASA),
∴AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA,
∵∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45,°
故答案为:45°;
【拓展】
(1)如图②,过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∵OC平分∠MON,
∴CD=CE,
∵∠DCE=180°﹣α,∠ACB=180°﹣α,
∴∠DCE=∠ACB,
∴∠DCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE,
即∠DCA=∠ECB,
∴△ACD≌△BCE(ASA),
∴CA=CB,
∴∠ABC=∠BAC=;
(2)如图③,过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,
由(1)知:△ACD≌△BCE(ASA),△OCD≌△OCE(HL),
∴AD=BE,OD=OE
∵OD+OE=OA﹣AD+OB+BE=OA+OB=6+4=10,
∴OD=OE=5,
∵OC平分∠MON,
∴∠AOC=∠MON=30°,
∵=cos∠AOC,
∴OC=.
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【题目】在中,,,以为边在的另一侧作,点为射线上任意一点,在射线上截取,连接、、.
(1)如图1,当点落在线段的延长线上时,求的度数;
(2)如图2,当点落在线段(不含边界)上时,与交于点,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
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【题目】第二届“一带一路”国际合作高峰论坛将于2019年4月在北京举行.为了让恩施特产走出大山,走向世界,恩施一民营企业计划生产甲、乙两种商品共10万件,销住“一带一路”沿线国家和地区.已知3件甲种商品与2件乙种商品的销售收入相同,1件甲种商品比2件乙种商品的销售收入少600元.甲、乙两种商品的销售利润分别为120元和200元
(1)甲、乙两种商品的销售单价各多少元?
(2)市场调研表明:所有商品能全部售出,企业要求生产乙种商品的数量不超过甲种商品数量的,且甲、乙两种商品的销售总收入不低于3300万元,请你为该企业设计一种生产方案,使销售总利润最大.
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【题目】如图,直线与轴交于点,抛物线与轴的一个交点为(点在点的左侧),过点作垂直轴交直线于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将绕点顺时针旋转,点的对应点分别为点
①求点的坐标;
②将拋物线向右平移使它经过点,此时得到的抛物线记为,求出抛物线的函数表达式.
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有数值;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有数值.现从甲口袋中随机取一球,记它上面的数值为,再从乙口袋中随机取一球,记它上面的数值为.设点的坐标为.
(1)请用树状图或列表法,列出所有可能的结果;
(2)求点落在第一象限的概率.
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【题目】科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表):
温度 | …… | 0 | 2 | 4 | 4.5 | …… | ||
植物每天高度增长量 | …… | 41 | 49 | 49 | 41 | 25 | 19.75 | …… |
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外一种函数的理由;
(2)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过,那么实验室的温度应该在哪个范围内选择?请说明理由.
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【题目】(2016广西贺州市)如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,那么A(﹣2,5)的对应点A′的坐标是( )
A. (2,5) B. (5,2) C. (2,﹣5) D. (5,﹣2)
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