Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A₁的坐标为（0，1），过点A₁作直线y=x的垂线，垂足为点B₁，以A₁B₁为边作菱形A₁B₂C₂A₃，使得点A2落在y轴上，延长A₂C₁交直线于点B₂，再以A₂B₂为边作菱形A₂B₂C₂A₃，使得点A₃落在y轴上…按此作法继续作菱形，则点A₂₀₁₇的坐标是[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁶]．

Answer 1

分析 求出A₁～A₄的坐标，探究规律后，利用规律解决问题即可．

解答 解：∵点A₁的坐标为（0，1），
∴OA₁=1，
在Rt△A₁B₁O中，A₁B₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A₂[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
同法可得A₂B₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴OA₃=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴A₃[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]，
同法可得OA₄=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，
∴A₄[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³]，
…，
A₂₀₁₇[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁶]．
故答案为[0，（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁶]．

点评 本题考查菱形的性质、规律型-点的坐标．等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．