Question

18．在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD
是直角三角形时，AP的长为2或$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 首先证明四边形AEA′F是菱形，得出AP=PA′，分两种情况分两种情形：①∠DA'C=90°时，②∠A'DC=90°时，分别计算即可．

解答 解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD，
∴OB=OD=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=3，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA=∠FPA=90°，
∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∴AE=AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴AP=PA′，
分两种情况：
①当∠DA'C=90°时，A'与O重合，
此时AA'=4，
∴AP=2；
②当∠A'DC=90°时，
设AP=PA′=x，则OA'=4-2x，
∵AC⊥BD，
∴∠A'OD=∠DOC=90°，
由角的互余关系得：∠A；DO=∠DCO，
∴△A'OD∽△DOC，
∴$\frac{OA'}{OD}=\frac{OD}{OC}$，
即$\frac{4-2x}{3}=\frac{3}{4}$，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
即AP=$\frac{7}{8}$；
故答案为：2或$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．