Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

Answer 1

证明：⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴设抛物线解析式为………………………………1分

根据题意，得，解得

∴抛物线的解析式为………………………………………2分

⑵存在。…………………………………………………………………………3分

由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分

①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得，即y＝4－x。…………………………5分

又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分

解得，，应舍去。∴。……………………7分

∴，即点P坐标为。……………………8分

②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。

∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分

⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,

得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分

∴,

∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分

设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，

∵CF＝DF＝1,

∴∠CDF＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），

∴DM∥BC,

∴四边形BCDM为直角梯形, ………………………………………………………12分

由∠BCD＝90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。

综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。…………………………………