Question

设[r，s]表示正整数r与s的最小公倍数，已知[a，b]=1000，[b，c]=2000，[c，a]=2000．求三元正整数有序组（a，b，c）的个数．

Answer 1

考点：约数与倍数

专题：

分析：由题意可得a，b，c都是形如：2^m•5ⁿ的数，然后设a=2^m₁•5^n₁，b=2^m₂•5^n₂，c=2^m₃•5^n₃，则可得max（m₁，m₂）=3，max（n₁，n₂）=3，则可得m₃=4；m₁，m₂中必有一个是3；另一个可以是0、1、2或3之任意一种；得到m₁，m₂的取法有7种；同理可得n₁，n₂，n₃的取法有10种；继而求得答案．

解答：解：∵[a，b]=1000，[b，c]=2000，[c，a]=2000，
∴a，b，c都是形如：2^m•5ⁿ的数，
设a=2^m₁•5^n₁，b=2^m₂•5^n₂，c=2^m₃•5^n₃，
∵[a，b]=1000=2³•5³，[b，c]=2000=2⁴•5³，[c，a]=2000=2⁴•5³，
∴max（m₁，m₂）=3，max（n₁，n₂）=3，
∴m₃=4；m₁，m₂中必有一个是3；另一个可以是0、1、2或3之任意一种；
∴m₁，m₂的取法有7种；
同理：max（m₂，m₃）=4，max（n₂，n₃）=3，max（m₁，m₃）=4，max（n₁，n₃）=3，
∴n₁，n₂，n₃中必有两个是3；另一个可以是0、1、2或3；
∴n₁，n₂，n₃的取法有10种；
∴m_i，n_i（i=1，2，3）不同取法共有：7×10=70（种），
即三元正整数有序组（a，b，c）的个数为70．

点评：此题考查了约数与倍数的知识．此题难度较大，根据题意能得到a，b，c都是形如：2^m•5ⁿ的数是解此题的关键．