Question

如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）试说明：BE²+CF²=EF²；
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理

专题：

分析：（1）首先连接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD，所以可得：AE=CF，AF=BC，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根据三角形面积公式求出即可．

解答：解：（1）解：连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，

∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，
同理AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²；

（2）∵AE=CF=5，AF=BE=12，
由勾股定理得：EF=13，
∵DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=169，
∴DE=DF=

13 2

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

=

169

4

．

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．