Question

如图所示，在△ABC中，求证：
（1）若AD为∠BAC的平分线，则S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）设D为BC上的一点，连接AD，若S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，则AD为∠BAC的平分线．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E，求出AC=CE，证相似，得出比例式，再根据三角形的面积公式求出即可；
（2）根据三角形的面积和已知得出比例式，根据相似得出比例式，即可求出AC=CE，推出∠E=∠CAD=∠BAD，即可得出答案．

解答：（1）证明：过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E，
则∠E=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠E=∠CAD，
∴AC=CE，
∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

BD

CD

=

AB

AC

，
∴S_△ABD：S_△ACD=（

1

2

×BD×AH）：（

1

2

×CD×AH）=BD：CD=AB：AC；

（2）证明：过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E
∵S_△ABD：S_△ACD=（

1

2

×BD×AH）：（

1

2

×CD×AH）=BD：CD=AB：AC，
又∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

AB

CE

=

AB

AC

，
∴CE=AC，
∴∠E=∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

点评：本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．