Question

19．己知△ABC的边BC=2$\sqrt{3}$，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数60°或120°．

Answer 1

分析 连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，由垂径定理得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，由等腰三角形的性质得出∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，由三角函数求出∠BOD=60°，得出∠BOC=120°，由圆周角定理即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作OD⊥BC于D，如图1所示：
则∠ODB=90°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$cm，∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°
②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
∠A=180°-60°=120°；
综上所述：∠A的度数为60°或120°，
故答案为：60°或120°．

点评 本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度适中．