Question

如图，矩形ABCD（点A在第一象限）与x轴的正半轴相交于M，与y的负半轴相交于N，AB∥x轴，反比例函数的图象y=

k

x

过A、C两点，直线AC与x轴相交于点E、与y轴相交于点F．
（1）若B（-6，3），且矩形ABCD的周长为24．
①求k的值；
②求证：FN=AM；
（2）如图2，连接MN，试判断MN与AC是否平行？若是，请加以证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①根据A与B纵坐标相同，B与C横坐标相同，且A与C在反比例函数图象上，根据B坐标表示出A与C坐标，由矩形ABCD周长为24列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
②由k的值，得到AD=BC=4，求出A，D，C坐标，确定出AM长，由FN与AD平行，利用两直线平行得到两对同位角相等，进而确定出三角形FCN与三角形ACD相似，由相似得比例，求出FN的长，即可得证；
（2）连接MN，求出DM：AD与DN：CD，得到两比值相等，即可得证．

解答：解：（1）①由点B（-6，3），设点A（

k

3

，3），C（-6，-

k

6

），
∵矩形ABCD周长为24，
∴

k

3

+6+

k

6

+3=

24

2

=12，
整理得：2k+k=18，
解得：k=6；
②∵k=6，
∴AD=BC=4，AB=CD=8，A（2，3），D（2，-1），C（-6，-1），
∴AM=3，
∵FN∥AD，
∴∠CFN=∠CAD，∠FNC=∠ADC=90°，
∴△FCN∽△ACD，
∴

FN

AD

=

CN

CD

，
∴FN=

AD•CN

CD

=

4×6

8

=3，
∴AM=FN；
（2）MN∥AC，理由为：
连接MN，
∵

DM

AD

=

1

4

，

ND

CD

=

2

8

=

1

4

，
∴

DM

AD

=

DN

CD

，
则MN∥AD．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，矩形的性质，坐标与图形性质，以及平行线的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．