Question

如图1，已知平面直角坐标系内，A（0，3），B（-4，0），C为x轴上正半轴上一点，若P为OB延长线上一点，PM⊥CA于M，且∠CPM=

1

2

∠BAC．
（1）求C点坐标；
（2）如图2，若OA²+OB²=AB²，过动点P向AB延长线作PN⊥AB于N，求证：PM-PN为定值；
（3）如图3，以BC为边作等边△BCD，Q为BD边的中点．连PQ，且∠PQE=120°．QE交DC延长线于E，问：在点P运动的过程中，CP-CE是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据同角的余角相等求出∠CPM=∠OAC，再求出∠OAB=∠OAC，再利用“角边角”证明△AOB和△AOC全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OB，然后写出点C的坐标即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC，再利用三角函数用PC、PB表示出PM、PN，然后整理可得PM-PN=

3

5

BC；
（3）过点Q作QM⊥BC于M，作QN⊥CD于N，利用“角角边”证明△BQM和△DQN全等，根据全等三角形对应边相等可得QM=QN，BM=DN，再求出CM=CN，利用三角形的内角和定理求出∠QPM=∠E，然后利用“角角边”证明△PMQ和△ENQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PM=NE，然后整理可得CP-CE=2MC．

解答：解：（1）∵PM⊥CA，
∴∠CPM+∠ACO=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠CPM=∠OAC，
又∵∠CPM=

1

2

∠BAC，
∴∠OAB=∠OAC，
在△AOB和△AOC中，

∠OAB=∠OAC AO=AO ∠AOB=∠AOC

，
∴△AOB≌△AOC（ASA），
∴OC=OB=4，AB=AC，
∴点C（4，0）；

（2）∵A（0，3），B（-4，0），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AC=

32+42

=5，
∵AB=AC，
∴∠ACO=∠ABO，
∵∠PBN=∠ABO（对顶角相等），
∴∠PBN=∠ACO=∠ABO，
∴PM=PC•sin∠ACO=

3

5

PC，
PN=PB•sin∠ACO=

3

5

PB，
∴PM-PN=

3

5

PC-

3

5

PB=

3

5

BC=

3

5

×（4+4）=

24

5

，为定值；

（3）过点Q作QM⊥BC于M，作QN⊥CD于N，
∵△BCD是等边三角形，Q为BD边的中点，
∴∠CBD=∠BDC=60°，BQ=DQ，
在△BQM和△DQN中，

∠CBD=∠BDC ∠BMQ=∠DNQ=90° BQ=DQ

，
∴△BQM≌△DQN（AAS），
∴QM=QN，BM=DN，
∴BC-BM=CD-DN，
即CM=CN，
∵∠PQE=120°，∠PCE=180°-60°=120°，
∴∠QPM=∠E，
在△PMQ和△ENQ中，

∠QPM=∠E ∠PMQ=∠ENQ=90° QM=QN

，
∴△PMQ≌△ENQ（AAS），
∴PM=NE，
∴CP-CE=（CM+PM）-CE=（CM+EN）-CE=（CM+CM+CE）-CE=2CM，
∵BC=4+4=8，点Q为BD的中点，
∴BQ=

1

2

×8=4，
∴BM=

1

2

×4=2，
∴CM=BC-BM=8-2=6，
∴CP-CE=2×6=12，为定值．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，难点在于（3）作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等．