如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$经过A两点.点B是抛物线与x轴的另一个交点.点E是OC的中点.作直线AC.点M在抛物线上.过点M作MD⊥x轴.垂足为点D.交直线AC于点N.设点M的横坐标为m.MN的长度为d．(1)直接写出直线AC的函数关系式,(2)求抛物线对应的函数关系式,(3)求d关于m的函数关系式,(4)当以点M.N.E.O为顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$经过A（4，0），C（0，4）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，点E是OC的中点，作直线AC、点M在抛物线上，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点N，设点M的横坐标为m，MN的长度为d．
（1）直接写出直线AC的函数关系式；
（2）求抛物线对应的函数关系式；
（3）求d关于m的函数关系式；
（4）当以点M、N、E、O为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出m的值．

分析（1）根据待定系数法，可得直线的解析式；
（2）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标，可得答案；
（4）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得MN的长，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A、C点的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
直线AC的解析式为y=-x+4；
（2）将A、C点坐标代入抛物线的解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（3）∵点M的横坐标为m，
∴M点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4）．点N的坐标为（m，-m+4）．
①当点M在点N的上方时，MN=-$\frac{1}{2}$²+m+4-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
d=-$\frac{1}{2}$m²+2m；
②当点M在点N的下方时，MN=-m+4-（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）=$\frac{1}{2}$m²-2m，
d=$\frac{1}{2}$m²-2m；
（4）m的值为m₁=2，m₂=2-2$\sqrt{2}$，m₃=2+2$\sqrt{2}$．理由如下：
①点M在点N的上方时，MN═OE=2，即-$\frac{1}{2}$m²+2m=2，
解得m₁=m₂=2．
∴m=2；
②当点M在点N的下方时，MN=OE=2，即$\frac{1}{2}$m²-2m=2，
解得m₁=2-2$\sqrt{2}$，m₂=2+2$\sqrt{2}$，
∴m=2-2$\sqrt{2}$，m=2+2$\sqrt{2}$．
综上所述：当以点M、N、E、O为顶点的四边形为平行四边形时，m的值为m₁=2，m₂=2-2$\sqrt{2}$，m₃=2+2$\sqrt{2}$．

点评本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数的解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出MN的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

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