Question

【题目】在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．

（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．若已知A（﹣2，0）B（0，﹣4），试求C点的坐标；

（2）如图②，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，a），点D的纵坐标为b，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求b﹣a的值；

（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且OB＝OE，OF⊥EB于点F，以OB为边在第四象限作等边△OBM，连接EM交OF于点N，探究EM-ON与EN的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣6，﹣2）；（2）2；（3）EN＝（EM﹣ON），理由见解析

【解析】

（1）作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由条件就可以求出C的坐标；

（2）作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO=BP=OB-PO=-a-（-b）=b-a为定值；

（3）作BH⊥EB于B，由条件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以证明△ENO≌△BGM，则GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行线分线段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．

（1）如图（1）作CQ⊥OA于点Q，

∴∠AQC＝90°

∵△ABC是等腰Rt△，

∴AC＝AB，∠CAB＝90°，

∴∠ACQ＝∠BAO，

在△AQC与△BOA中，

，

∴△AQC≌△BOA，

∴CQ＝AO，AQ＝BO．

∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴OA＝2，OB＝4，

∴CQ＝2，AQ＝4，

∴OQ＝6，

∴C（﹣6，﹣2）．

（2）如图（2）作DP⊥OB于点P，

∴∠BPD＝90°，

∵△ABD是等腰Rt△，

∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，

∴∠ABO＝∠BDP，

在△AOB与△BPD中，

，

∴△AOB≌△BPD，

∴AO＝BP，

∵BP＝OB﹣PO＝﹣a﹣（﹣b）＝b﹣a，

∴A（﹣2，0），

∴OA＝2，

∴b﹣a＝2，

∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO＝BP＝b﹣a＝2，

（3）如图（3）在ME上截取MG＝ON，连接BG，

∵△OBM是等边三角形，

∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，

∴EO＝MO，∠EBM＝105°，∠1＝30°，

∵OE＝OB， ∴OE＝OM＝BM．

∴∠3＝∠EMO＝15°，

∴∠BEM＝30°，∠BME＝45°，

∵OF⊥EB，

∴∠EOF＝45°

∴∠EOF＝∠BME，

在△ENO与△BGM中，

，

∴△ENO≌△BGM，

∴BG＝EN．

∵ON＝MG，

∴∠2＝∠3，

∴∠2＝15°，

∴∠EBG＝90°

∴BG＝EG，

∴EN＝EG，

∵EG＝EM﹣GM，

∴EN＝（EM﹣GM），

∴EN＝（EM﹣ON）.