Question

6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求∠D的正弦值；
（2）求点C到直线DE的距离．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH=$\frac{1}{2}$BC=2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{1}{3}$，根据三角形内角和定理求出∠BAH=∠D=90°-∠B，则sin∠D=sin∠BAH=$\frac{1}{3}$；
（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD=$\frac{BE}{sin∠D}$=9，则CD=BD-BC=5．再解直角△MCD，求出CM=$\frac{5}{3}$，即点C到DE的距离为$\frac{5}{3}$．

解答 解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB=AC，BC=4，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵在△ABH中，∠BHA=90°，AB=6，
∴sin∠BAH=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED=90°，BE=3，
∴∠BED=∠BHA，
又∵∠B=∠B，
∴∠BAH=∠D，
∴sin∠D=sin∠BAH=$\frac{1}{3}$，
即∠D的正弦值为$\frac{1}{3}$；

（2）过点C作CM⊥DE于点M．
∵在△BED中，∠BED=90°，sin∠D=$\frac{1}{3}$，BE=3，
∴BD=$\frac{BE}{sin∠D}$=9，
∴CD=BD-BC=9-4=5．
∵在△MCD中，∠CMD=90°，sin∠D=$\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∴CM=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{5}{3}$，
即点C到DE的距离为$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线是解题的关键．