Question

17．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC于E、F．求证：（1）△AED≌△ADF；（2）BE=CF．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证明△ADE和△ADF全等即可；
（2）利用（1）中得出DE=DF，再利用HL证明Rt△BED与Rt△DFC全等即可．

解答 证明：（1）∵AD是它的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∵DE、DF分别垂直AB、AC垂足为E、F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DAF}\\{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ADF（AAS），
（2）∵△AED≌△ADF，
∴DE=DF，
在Rt△BED与Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF．

点评 本题考查了全等三角形和全等的条件的证明，准确确定出角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．