Question

16．⊙0外接等腰△ABC，AB=AC，连AO并延长BC与D，BC=12，cosB=$\frac{3}{5}$，求：半径长．

Answer 1

分析 由AB=AC得出$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，进而根据垂径定理得出AE⊥BC，BD=BC=$\frac{1}{2}$BC=6，解直角三角形求得AB，进而应用勾股定理求得AD，连接OB，设圆的半径为x，则OD=AD-OA=8-x，然后根据勾股定理即可求得．

解答 解：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$
∴AE⊥BC，BD=BC=$\frac{1}{2}$BC=6，
∵cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=10，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
连接OB，设圆的半径为x，则OD=AD-OA=8-x，
在RT△BOD中，OB²=BD²+OD²，
即x²=6²+（8-x）²，解得x=$\frac{25}{4}$
∴⊙0的半径为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．