Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，4）和点B．过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连结AB、BC、DC、DA．点B的横坐标为a（a＞1）

（1）求k的值
（2）若△ABD的面积为4；
①求点B的坐标，
②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①（3，），②（3， ）；（3， ）；（3，- ）

【解析】

（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；
（2）①设AC，BD交于点M，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，结合AC⊥x轴，BD⊥y轴可得出BD，AM的长，利用三角形的面积公式结合△ABD的面积为4可求出a的值，进而可得出点B的坐标；
②设点E的坐标为（m，n），分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点E的坐标．

解：（1）∵函数y=（x＞0）的图象经过点A（1，4），
∴k=1×4=4．
（2）①设AC，BD交于点M，如图1所示．

∵点B的横坐标为a（a＞1），点B在y=的图象上，
∴点B的坐标为（a，）．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴BD=a，AM=AC-CM=4-．
∵△ABD的面积为4，
∴BDAM=4，即a（4-）=8，
∴a=3，
∴点B的坐标为（3，）

②存在，设点E的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑，如图2所示．

（i）当AB为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），
∴ ，解得：，
∴点E1的坐标为（3， ）；
（ii）当AC为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），

∴ ，解得：，

∴点E2的坐标为（3， ）；

（iii）当BC为对角线时，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），

∴ ，解得：，

∴点E2的坐标为（3，- ）.

综上所述：点E的坐标为（3， ）；（3， ）；（3，- ）.