Question

20．已知关于x的方程x²-（2m+1）x+m2+m=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b²-4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
（2）直接代入x=1，求得m的值后，解方程即可求得另一个根．

解答 证明：（1）∵a=1，b=-（2m+1），c=m²+m，
∴△=[-（2m+1）]²-4×1×（m²+m）=1，
∴△＞0，
∴关于x的方程x²-（2m+1）x+m²+m=0恒有两个不相等的实数根．

（2）把x=1代入原方程得，1-（2m+1）+m²+m=0，
解得m=0或1，
当m=0时，原方程化为x²-x=0，
解得：x₁=0，x₂=1，即另一个根为x=0；
当m=1时，原方程化为x²-3x+2=0，
解得：x₁=2，x₂=1，即另一个根为x=2．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．