Question

11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，$\sqrt{3}$），点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），点P为斜边OB上的一个动点，求PA+PC的最小值．

Answer 1

分析 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{3}$，OA=3，
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∴OB=2AB=2$\sqrt{3}$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$×OA×AB=$\frac{1}{2}$×OB×AM，
∴AM=$\frac{3}{2}$，
∴AD=2×$\frac{3}{2}$=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$，由勾股定理得：DN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵C（$\frac{1}{2}$，0），
∴CN=3-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，
即PA+PC的最小值是$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．