Question

1．如图1，抛物线y=ax²+bx+c经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与C点重合），过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点C作∠ACB的角平分线CE交X轴于点D，交抛物线于点E，T点在抛物线上，它的横坐标是3.5；F为x轴上的一个动点，H为CE上的一个动点，求TF+HF的最小值．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线经过C（0，-2），则可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可；
（2）△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；
（3）由题意，利角平分线的性质得到D（2，0）用．易求得CE解析式为y=x-2，过点T₁作T₁H⊥CE，易求得T₁H的解析式为$y=-x+\frac{23}{8}$，解得$H（\frac{39}{16}，\frac{7}{16}）$，可得TF+HF的最小值为$\frac{17}{16}\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故此抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）存在．
如图，设P点的横坐标为m，
则点P的纵坐标为-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
当1＜m＜4时，
AM=4-m，PM=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OA}{OC}$=2时，△APM∽△ACO，
∴$\frac{|4-x|}{|y|}$=2，即|4-m|=2（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），
∴4-m=m²+5m-4，
∴m²-6m+8=0，
∴（m-2）（m-4）=0，
解得：m₁=2，m₂=4（舍去）
∴P（2，1）
②当$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，△APM∽△CAO，
那么有：2|4-m|=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
∴2（4-m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
∴m²-9m+20=0，
∴（m-4）（m-5）=0，
解得：m₁=4（舍去），m₂=5（舍去），
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
类似地可求出当m＞4时，P（5，-2），
当m＜1时，P（-3，-14），
当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，-2）（不合题意舍去）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；

（3）∵CE是∠ACB的角平分线，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴D（2，0），
∴CE解析式为y=x-2，
如图2，过点T₁作T₁H⊥CE，
则T₁H的解析式为$y=-x+\frac{23}{8}$，
解得$H（\frac{39}{16}，\frac{7}{16}）$，
故TF+HF的最小值为$\frac{17}{16}\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，以及最值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．