Question

16．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．
（1）如图，若tanB=2，则$\frac{BE}{BC}$的值为$\frac{1}{3}$；
（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，则tanB的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得ED=EC，∠CED=90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DE=2BE，则CE=BE，所以$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{3}$；
（2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，则可判断△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得$\frac{DB}{DC}$=$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，则可设DC=3$\sqrt{2}$x，BD=5x，然后利用正方形性质得DE=3x，接着利用勾股定理计算出BE=4x，最后根据正切的定义求解．

解答 解：（1）∵四边形CEDF为正方形，
∴ED=EC，∠CED=90°，
在Rt△BDE中，∵tanB=$\frac{DE}{BE}$=2，
∴DE=2BE，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BE}{BE+2BE}$=$\frac{1}{3}$；
（2）连结DC、DC′，如图，
∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，
∴DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，
即$\frac{DB}{DC}$=$\frac{DB′}{DC′}$，
∴△DBB′∽△DCC′，
∴$\frac{DB}{DC}$=$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，
设DC=3$\sqrt{2}$x，BD=5x，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DE=3x，
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{D{B}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（5x）^{2}-（3x）^{2}}$=4x，
∴tanB=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长和得到对应角相等．解决（2）的关键是证明△DBB′∽△DCC′得到$\frac{DB}{DC}$=$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$．