Question

3．如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y．
（1）四边形AFPG是什么图形？请说明理由；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△AOG≌△POF，即可判断出OG=OF；然后判断出AP、GF互相垂直平分，即可推得四边形AFPG是菱形．
（2）首先根据四边形AFPG是菱形，可得AF=PF=AG=y；然后根据BF=BP-PF=x-y，在Rt△ABF中，应用勾股定理，求出y与x的函数关系式即可．
（3）首先设以线段GP、DC为直径的圆的圆心分别是点M、N，则MN∥AD∥BC，据此求出MN的值是多少；然后判断出以线段GP、DC为直径的圆的半径分别是$\frac{x}{2}$、1，再根据两圆外切，可得MN=$\frac{x}{2}$+1，据此求出x的值是多少即可．

解答 解：（1）四边形AFPG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAG=∠OPF，
∵FG是线段AP的垂直平分线，
∴AO=PO，∠AOG=∠POF=90°，
在△AOG和△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAG=∠OPF}\\{AO=PO}\\{∠AOG=∠POF}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△POF，
∴OG=OF，
∴AP、GF互相垂直平分，
∴四边形AFPG是菱形．

（2）∵四边形AFPG是菱形，
∴AF=PF=AG=y，
又∵BP=x，
∴BF=BP-PF=x-y，
在Rt△ABF中，
BF²=AF²-AB²=y²-2²=（x-y）²，
整理，可得y=$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$．

（3）如图1，
，
设以线段GP、DC为直径的圆的圆心分别是点M、N，
则MN∥AD∥BC，
∴MN=$\frac{1}{2}（GD+PC）$=$\frac{1}{2}$[（7-x）+（7-$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{x}$）]=7-$\frac{3}{4}x$-$\frac{1}{x}$，
∵GP=x，CD=2，
∴以线段GP、DC为直径的圆的半径分别是$\frac{x}{2}$、1，
当以线段GP、DC为直径的两圆外切时，
7-$\frac{3}{4}x$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x}{2}$+1，
整理，可得
$\frac{5}{4}x+\frac{1}{x}-6=0$，
解得x=$\frac{12+2\sqrt{31}}{5}$或x=$\frac{12-2\sqrt{31}}{5}$，
∵$\frac{12-2\sqrt{31}}{5}$＜1，
∴x=$\frac{12-2\sqrt{31}}{5}$不符合题意，
∴x=$\frac{12+2\sqrt{31}}{5}$．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了空间想象的能力的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．