Question

18．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥DC，得出∠BAF=∠CEF，证出AB=CE，由AAS证明△ABF≌△ECF即可；
（2）先证出四边形四边形ABEC是平行四边形，由四边形ABEC是矩形，得出∠ACB=90°，AF=CF=BF，得出∠FCE=∠FBC，再证出∠D=∠FCE，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴AB∥CE，
∴∠BAF=∠CEF，
∵CE=DC，
∴AB=CE，
在△ABF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠CEF}&{\;}\\{∠AFB=∠EFC}&{\;}\\{AB=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ECF（AAS）；
（2）解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形；理由如下：
由（1）得：AB∥CE，AB=CE，
∴四边形四边形ABEC是平行四边形，
若四边形ABEC是矩形时，
则∠ACB=90°，AF=CF=BF，
∴∠FCE=∠FBC，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCE，
又∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，
∴∠AFC=2∠D．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．