Question

16．如图已知直线$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$与x轴和y轴分别交于点A和点B，以AB为边在第一象限内作等边三角形ABC．
（1）求△ABC三个顶点的坐标．
（2）是否在第一象限内存在有一点P（m，$\frac{1}{2}$），使△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先令x=0，y=0求出A、B的坐标．然后解直角三角形求得∠OAB=30°，根据勾股定理求出AB的长，继而可求出∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°，即可求得C的坐标．
（2）由△ABP和△ABC的面积相等，得到点C与点P到直线AB的距离相等，得到PC∥AB，根据直线AB设出直线PC的解析式，代入C的坐标，根据待定系数法即可求得直线PC的解析式，然后把y=$\frac{1}{2}$代入即可求得．

解答 解：（1）$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵△AOB为直角三角形，
∴AB=2．tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°，
∴C（$\sqrt{3}$，2）；
（2）∵△PAB的面积等于△ABC的面积，
∴点C与点P到直线AB的距离相等，
∴PC∥AB，
设直线PC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把C（$\sqrt{3}$，2）代入得，2=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+b，
解得b=3，
∴直线PC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
把（m，$\frac{1}{2}$）代入得，$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+3，
解得m=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴在第一象限内存在有一点P（m，$\frac{1}{2}$），使△PAB的面积等于△ABC的面积．此时m的值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形函数，平行线的性质，待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°是解题的关键．