Question

7．将直角三角形的直角顶点放在点P（5，5）处，两直角边分别与坐标轴交于A点和B点．
（1）如图①，求OB+OA的值以及四边形OBPA的面积；
（2）如图②，求OA-OB的值；
（3）如图③，以P为顶点，作∠DPE=45°，求证：DE-BD=AE．

Answer 1

分析 （1）作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，求出PN=PM，求出∠NPB=∠APM，∠PNB=∠PMA=90°，证△PNB≌△PMA，推出AM=BN、0M=ON，证0A+OB=OM+ON=8；
（2）如图②过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，由P（5，5），得到PM=MO=ON=PN=5，由于∠MPB+∠BPN=∠MPN=90°，∠BPN+∠NPA=90°，于是得到∠MPB=∠NPA，推出△PBN≌△APM，根据全等三角形的性质得到AM=BN，即可得到结论；（3）过P作PF⊥PE，由∠DPE=45°，推出PD为∠FPE的平分线，由（1）（2）同理可得，PF=PE，证得△PDF≌△PDE，根据全等三角形的性质得到∠BDP=∠GDP，过P作∠DPQ=∠DPB，由∠APB=90°，∠DPE=∠DPQ+∠EPQ=45°，得到∠OPB=∠EPA=45°，∠EPQ=∠EPA，证得△DPB≌△DPQ，根据全等三角形的性质得到BD=DQ，BP=PQ，由（1）（2）知，PA=PB，求得PQ=PA，推出△PEQ≌△PEA，得到QE=EA，于是得到结论．

解答 解：（1）如图①，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∵P（5，5），
∴PN=PM=5，∠NPM=360°-90°-90°-90°=90°=∠BPA，
∴∠NPB=∠APM，∠PNB=∠PMA=90°，
在△PNB和△PMA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠PMA}\\{PN=PM}\\{∠NPB=∠MPA}\end{array}\right.$
∴△PNB≌△PMA（ASA），
∴AM=BN、0M=ON，
∴0A+OB=OM+ON=10；

（2）如图②，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∵P（5，5），
∴PM=MO=ON=PN=5，
∵∠MPB+∠BPN=∠MPN=90°，∠BPN+∠NPA=90°，
∴∠MPB=∠NPA，
在△PBN与△APM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NPA=∠MPB}\\{∠PNB=∠AMP}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PBN≌△APM，
∴AM=BN，
∴OA-OB=（OM+MA）-（NB-NO）=OM+ON=10；

（3）如图③，过P作PF⊥PE，
∵∠DPE=45°，
∴PD为∠FPE的平分线，
由（1）（2）同理可得，PF=PE，
在△PDF与△PDE中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=PF}\\{∠FPD=∠EPD}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PDE，
∴∠BDP=∠GDP，
过P作∠DPQ=∠DPB，
∵∠APB=90°，∠DPE=∠DPQ+∠EPQ=45°，
∴∠OPB=∠EPA=45°，∠EPQ=∠EPA，
在△DPB与△DPG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DPQ=∠DPB}\\{PD=PD}\\{∠BDP=∠QDP}\end{array}\right.$，
∴△DPB≌△DPQ，
∴BD=DQ，BP=PQ，
由（1）（2）知，PA=PB，
∴PQ=PA，
在△PEQ与△PEA中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=PE}\\{∠EPQ=∠EPA}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PEQ≌△PEA，
∴QE=EA，
∴DE=DQ+QE=BD+AE，
∴DE-BD=AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．