Question

【题目】如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE＝FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析

【解析】

（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；
（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；
（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝FE；

解法1：

∵∠AED＝∠ACB＝90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径，

∵点F是BD的中点，

∴点F是圆心，

∴EF＝CF＝FD＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，

由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°

∴∠ECF＝45°＝∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝EF．

解法2：

易证∠BED＝∠ACB＝90°，

∵点F是BD的中点，

∴CF＝EF＝FB＝FD，

∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，

∴∠DFE＝2∠ABD，

同理∠CFD＝2∠CBD，

∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，

即∠CFE＝90°，

∴CE＝EF．

（2）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，

∵∠ACB＝∠AED＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠EDF＝∠GBF，

又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，

∵AC＝BC，

∴CE＝CG，

∴∠EFC＝90°，CF＝EF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∴CE＝FE；

解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，

又点F是BD的中点，

∴FA＝FB＝FD，

而AC＝BC，CF＝CF，

∴△ACF≌△BCF，

∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，

∵FA＝FB，CA＝CB，

∴CF所在的直线垂直平分线段AB，

同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，

又DA⊥BA，

∴EF⊥CF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴CE＝EF．

（3）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，

∵DF＝BF，

∴FM∥AB，且FM＝AB，

∵AE＝DE，∠AED＝90°，

∴AM＝EM，∠AME＝90°，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°

∴CN=AN=AB，∠ANC＝90°，

∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，

∴四边形MFNA为平行四边形，

∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，

∴∠EMF＝∠FNC，

∴△EMF≌△FNC，

∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，

由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，

∴∠FCN+∠PFC＝90°，

∴∠EFM+∠PFC＝90°，

∴∠EFC＝90°，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∴CE＝FE．