Question

【题目】阅读材料：

小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：方案一图形中的圆过点A，B，C，圆心O也是正方形的顶点；

回答问题（直接写出结果）：

（1）方案二中，直角三角形纸片的两条直角边长分别为_______cm和_______cm；

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率是________（填准确值），近似值约为38．2%．相比之下，方案二的利用率是________%．小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率是________.

Answer 1

【答案】（1）4cm；8cm；（2）；37.5；49.9%.

【解析】（1）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度

（2）由（1）的结论直接可以得出结论，求得圆的半径后可以求得纸片的面积，从而利用展开图的面积除以总面积即可求得利用率；利用方案（3）的方法，分析求解即可求得答案．

（1）如图3：

建立平面直角坐标系，可得E（2，3）、F（4，2）得直线解析式为y=-x+4，

∴A（0，4）B（8，0）

∴AC=4BC=8．

故答案为：4，8；

（2）∵由题意知：AB=2，

∴圆的半径为，

∴圆的面积为5π，

∵展开图的面积为6，

∴利用率=×100%=×100%=；

方案二：由（1）知，AC=4BC=8．

∴S△ACB=16．

∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%．

方案三：过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，

设AP=a，

∵PQ∥EK，

易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，

∴AP：AQ=QK：EK=1：2，

∴AQ=2a，PQ=a，

∴EQ=5a，

∵EC：ED=QE：QK，

∴EC=a，

则PG=5a+a=a，GL=a，

∴GH=a，

∵，

解得：GB=a，

∴AB=a，AC=a，

∴S△ABC=×AB×AC=a2，

S展开图面积=6×5a2=30a2，

∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=49.86%≈49.9%.