Question

如图，直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）求⊙A的半径和b的值；
（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上C点下方的一点，当△PQM为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的点Q坐标．

Answer 1

解：（1）连接AM，作MD⊥OB，由点M（4，4），A（1，0），
∴|AM|==5，
即，⊙A的半径为5；
把点M（4，4）代入y=-x+b得，4=-×4+b，
解得，b=7；

（2）由图得，0=-x+7，得x=，
即OB=，
∴AB=-1=，BD=-4=，
∴AM²+MB²=5²+4²+=，
AB²==，
∴∠AMB=90°，
∴直线BC与⊙A相切；

（3）①当∠PQM=90°时，
∵M（4，4），
∴∠MOB=45°，
∴过点M作MP⊥OB于P，
点Q与点O重合，
∴∠PQM=90°；
∴Q（0，0）；
②过点M作MN⊥y轴，MD⊥x轴，
当△MNQ≌△MDP时，∠PMQ=90°，
∴NQ=PD=2，MQ=MP，
∴Q（0，2）；
③当∠QPM=90°时，P在y的左方，如图，设P（m，n），Q（0，b）可得：
（I）4-m=n-b，（II）4-n=-m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=2，b=-8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
第二情况：P在y的右方，同理得：
（I）m-4=n-b，（II）4-n=m，（III）（1-m）²+n²=5²，
解方程组得，b=3+ （舍去），b=3-．
综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-）．
分析：（1）由图可得，AM²=AC²+MC²，且AC=3，MC=4，代入可得；
（2）只要证明AB²=AM²+BM²，由图可得出，BM²=MC²+BC²，由AB=，MC=4，BC=，代入即可求出；
（3）题目分为3种情况：①PQ=QM，②PM=MQ，③PQ=PM；点M（4，4），点P（5cosA，5sinA），Q（0，y）；
点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．