Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝_____．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

连接OC，根据切线的性质得到∠OCD=90°，根据余角的性质得到∠AEO=∠B，得到DE=DC，设DE=DC=x，求得OD=2+x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DCE＝∠COB，

∵OD⊥AB，

∴∠AOE＝90°，

∴∠A+∠B＝∠A+∠AEO＝90°，

∴∠AEO＝∠B，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠B，

∵∠DEC＝∠AEO，

∴∠DEC＝∠DCE，

∴DE＝DC，

设DE＝DC＝x，

∴OD＝2+x，

∵OD2＝OC2+CD2，

∴（2+x）2＝42+x2，

解得：x＝3，

∴CD＝3，

故答案为：3．