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【题目】如图,在正方形ABCD中,MN分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终∠MAN45°

1)如图1,当点MN分别在线段BCDC上时,请直接写出线段BMMNDN之间的数量关系;

2)如图2,当点MN分别在CBDC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;

3)如图3,当点MN分别在CBDC的延长线上时,若CNCD6,设BDAM的延长线交于点P,交ANQ,直接写出AQAP的长.

【答案】1BM+DNMN;(2)(1)中的结论不成立,DNBMMN.理由见解析;(3APAM+PM3

【解析】

1)在MB的延长线上,截取BE=DN,连接AE,则可证明△ABE≌△ADN,得到AE=AN,进一步证明△AEM≌△ANM,得出ME=MN,得出BM+DN=MN
2)在DC上截取DF=BM,连接AF,可先证明△ABM≌△ADF,得出AM=AF,进一步证明△MAN≌△FAN,可得到MN=NF,从而可得到DN-BM=MN
3)由已知得出DN=12,由勾股定理得出AN6 ,由平行线得出△ABQ∽△NDQ,得出,∴,求出AQ=2 ;由(2)得出DN-BM=MN.设BM=x,则MN=12-xCM=6+x,在RtCMN中,由勾股定理得出方程,解方程得出BM=2,由勾股定理得出AM=,由平行线得出△PBM∽△PDA,得出,,求出PM= PMAM

得出APAM+PM3.

1BM+DNMN,理由如下:

如图1,在MB的延长线上,截取BEDN,连接AE

∵四边形ABCD是正方形,

ABAD,∠BAD=∠ABC=∠D90°

∴∠ABE90°=∠D

在△ABE和△ADN中,

∴△ABE≌△ADNSAS),

AEAN,∠EAB=∠NAD

∴∠EAN=∠BAD90°

∵∠MAN45°

∴∠EAM45°=∠NAM

在△AEM和△ANM中,

∴△AEM≌△ANMSAS),

MEMN

又∵MEBE+BMBM+DN

BM+DNMN

故答案为:BM+DNMN

2)(1)中的结论不成立,DNBMMN.理由如下:

如图2,在DC上截取DFBM,连接AF

则∠ABM90°=∠D

在△ABM和△ADF中,

∴△ABM≌△ADFSAS),

AMAF,∠BAM=∠DAF

∴∠BAM+BAF=∠BAF+DAF=∠BAD90°

即∠MAF=∠BAD90°

∵∠MAN45°

∴∠MAN=∠FAN45°

在△MAN和△FAN中,

∴△MAN≌△FANSAS),

MNNF

MNDNDFDNBM

DNBMMN

3)∵四边形ABCD是正方形,

ABBCADCD6ADBCABCD,∠ABC=∠ADC=∠BCD90°

∴∠ABM=∠MCN90°

CNCD6

DN12

AN6

ABCD

∴△ABQ∽△NDQ

AQAN2

由(2)得:DNBMMN

BMx,则MN12xCM6+x

RtCMN中,由勾股定理得:62+6+x2=(12x2

解得:x2

BM2

AM2

BCAD

∴△PBM∽△PDA

PMAM

APAM+PM3

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汉字听写大赛成绩分数段统计表

分数段

频数

2

6

9

18

15

汉字听写大赛成绩分数段条形统计图

(1)补全条形统计图.

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