【题目】如图,在正方形ABCD中,M、N分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终∠MAN=45°.
(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时,请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系;
(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;
(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,若CN=CD=6,设BD与AM的延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长.
【答案】(1)BM+DN=MN;(2)(1)中的结论不成立,DN﹣BM=MN.理由见解析;(3)AP=AM+PM=3.
【解析】
(1)在MB的延长线上,截取BE=DN,连接AE,则可证明△ABE≌△ADN,得到AE=AN,进一步证明△AEM≌△ANM,得出ME=MN,得出BM+DN=MN;
(2)在DC上截取DF=BM,连接AF,可先证明△ABM≌△ADF,得出AM=AF,进一步证明△MAN≌△FAN,可得到MN=NF,从而可得到DN-BM=MN;
(3)由已知得出DN=12,由勾股定理得出AN===6 ,由平行线得出△ABQ∽△NDQ,得出====,∴=,求出AQ=2 ;由(2)得出DN-BM=MN.设BM=x,则MN=12-x,CM=6+x,在Rt△CMN中,由勾股定理得出方程,解方程得出BM=2,由勾股定理得出AM==,由平行线得出△PBM∽△PDA,得出==,,求出PM= PM=AM=,
得出AP=AM+PM=3.
(1)BM+DN=MN,理由如下:
如图1,在MB的延长线上,截取BE=DN,连接AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABE=90°=∠D,
在△ABE和△ADN中,,
∴△ABE≌△ADN(SAS),
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,
∴∠EAN=∠BAD=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAM=45°=∠NAM,
在△AEM和△ANM中,,
∴△AEM≌△ANM(SAS),
∴ME=MN,
又∵ME=BE+BM=BM+DN,
∴BM+DN=MN;
故答案为:BM+DN=MN;
(2)(1)中的结论不成立,DN﹣BM=MN.理由如下:
如图2,在DC上截取DF=BM,连接AF,
则∠ABM=90°=∠D,
在△ABM和△ADF中,,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AM=AF,∠BAM=∠DAF,
∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
即∠MAF=∠BAD=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠MAN=∠FAN=45°,
在△MAN和△FAN中,,
∴△MAN≌△FAN(SAS),
∴MN=NF,
∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM,
∴DN﹣BM=MN.
(3)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD=CD=6,AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠ABM=∠MCN=90°,
∵CN=CD=6,
∴DN=12,
∴AN===6 ,
∵AB∥CD,
∴△ABQ∽△NDQ,
∴====,
∴=,
∴AQ=AN=2 ;
由(2)得:DN﹣BM=MN.
设BM=x,则MN=12﹣x,CM=6+x,
在Rt△CMN中,由勾股定理得:62+(6+x)2=(12﹣x)2,
解得:x=2,
∴BM=2,
∴AM===2,
∵BC∥AD,
∴△PBM∽△PDA,
∴===,
∴PM=AM=,
∴AP=AM+PM=3.
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【题目】如图,一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A()、B()两点。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)根据图像直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围
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【题目】现有A、B两个不透明袋子,分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中,A袋装有2个白球,1个红球;B袋装有2个红球,1个白球。
(1)将A袋摇匀,然后从A袋中随机取出一个小球,求摸出小球是白色的概率;
(2)小华和小林商定了一个游戏规则:从摇匀后的A,B两袋中随机摸出一个小球,摸出的这两个小球,若颜色相同,则小林获胜;若颜色不同,则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。
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【题目】为弘扬中华传统文化,我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组,因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查,将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图,请根据图中的信息,完成下列问题:
(1)学校这次调查共抽取了 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 ;
(4)设该校共有学生2000名,请你估计该校有多少名学生喜欢书法?
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【题目】为了传承中华优秀传统文化,某校组织八年级学生参加了“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中若干名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,绘制如下不完整的条形统计图.
汉字听写大赛成绩分数段统计表
分数段 | 频数 |
2 | |
6 | |
9 | |
18 | |
15 |
汉字听写大赛成绩分数段条形统计图
(1)补全条形统计图.
(2)这次抽取的学生成绩的中位数在________的分数段中;这次抽取的学生成绩在的分数段的人数占抽取人数的百分比是_______.
(3)若该校八年级一共有学生350名,成绩在90分以上(含90分)为“优”,则八年级参加这次比赛的学生中成绩“优”等的约有多少人?
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【题目】如图,反比例函数y=(x>0)过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
(1)求k的值与B点的坐标;
(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标.
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【题目】如图,在ABCD中,已知AD=10cm,tanB=2,AE⊥BC于点E,且AE=4cm,点P是BC边上一动点.若△PAD为直角三角形,则BP的长为_____
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【题目】樱桃是我市的特色时令水果.一上市,水果店的老板用2400元购进一批樱桃,很快售完;老板又用3700元购进第二批樱桃,进价比第一批每千克少了11元,所购件数是第一批2的倍.
(1)第一批樱桃进价是每千克多少元?
(2)老板以每千克50元的价格销售第二批樱桃,售出80%后,为了尽快售完,剩下降价促销、要使得第二批樱桃的销售利润不低于1100元,剩余的樱桃每千克最多降价多少元销售?
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【题目】如图所示,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上.
(1)将△ABC向下平移5个单位再向右平移1个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)P(a,b)是△ABC的边AC上一点,请直接写出经过两次变换后在△A2B2C2中对应的点P2的坐标.
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