Question

【题目】如图，在ABCD中，已知AD＝10cm，tanB＝2，AE⊥BC于点E，且AE＝4cm，点P是BC边上一动点．若△PAD为直角三角形，则BP的长为_____

Answer 1

【答案】2cm或4cm或10cm

【解析】

由三角函数得出BE=2，分两种情况：

①当∠PAD=90°时，点P与E重合，BP=BE=2；

②当∠APD=90°时，作DF⊥ABC于F，则∠DFP=∠AEP=90°，DF=AE=4，证明△APE∽△PDF，得出 ，解得PE=2，或PE=8，得出BP=BE+PE=4，或BP=BE+PE=10；即可得出答案．

解：∵AE⊥BC，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°，

∵tanB＝＝2，且AE＝4，

∴BE＝2，

分两种情况：

①当∠PAD＝90°时，点P与E重合，BP＝BE＝2；

②当∠APD＝90°时，作DF⊥ABC于F，如图所示：

则∠DFP＝∠AEP＝90°，DF＝AE＝4，

∵∠APE+∠PAE＝∠APE+∠DPF＝90°，

∴∠PAE＝∠DPF，

∴△APE∽△PDF，

∴，即＝，

解得：PE＝2，或PE＝8，

∴BP═BE+PE＝4，或BP＝BE+PE＝10

综上所述，若△PAD为直角三角形，则BP的长为2cm或4cm或10cm；

故答案为：2cm或4cm或10cm.