Question

【题目】如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ）

A.1B.2

C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①正确．证明Rt△AGD≌Rt△AGF,得到∠GAF＝∠GAD，结合∠EAB＝∠EAF可得结果．

②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．

③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．

④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．

解：如图，连接DF．

∵四边形ABC都是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，

由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，

∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，

∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），

∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，

∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝（∠BAF＋∠DAF）＝45°，故①正确，

在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2，

∴（4＋x）2＝82＋（12x）2，

∴x＝6，

∵CD＝BC＝BE＋EC＝12，

∴DG＝CG＝6，

∴FG＝GC，

易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，

∵GF＝GD＝GC，

∴∠DFC＝90°，

∴CF⊥DF，

∵AD＝AF，GD＝GF，

∴AG⊥DF，

∴CF∥AG，故③正确，

∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，

∴FG：EG＝3：5，

∴S△GFC＝×24＝，故④错误，

故选B．