【题目】已知抛物线
与x轴分别交于
，
两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设
，当k为何值时，
.
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与
相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
【答案】（1）
，D的坐标为
；（2）①
；②以A，F，O为顶点的三角形与
相似，F点的坐标为
或
．
【解析】
(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点
；
(2)①由A、C、D三点的坐标求出
，
，
，可得
为直角三角形，若
，则点F为AD的中点，可求出k的值；
②由条件可判断
，则
，若以A，F，O为顶点的三角形与
相似，可分两种情况考虑：当
或
时，可分别求出点F的坐标．
(1)
抛物线
过点
，
，
，解得：
，
抛物线解析式为
；
，
顶点D的坐标为
；
(2)①在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，且
，
，
F为AD的中点，
，
；
②在
中，
，
在
中，
，
，
，
，
，
若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：
当时，
，
，
设直线BC的解析式为
，
，解得：
，
直线BC的解析式为
，
直线OF的解析式为
，
设直线AD的解析式为
，
，解得：
，
直线AD的解析式为
，
，解得：
，
．
当时，
，
，
，
直线OF的解析式为
，
，解得：
，
，
综合以上可得F点的坐标为
或
．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在正方形
中，
是
边上的一点，
，
，将正方形边
沿
折叠到
，延长
交
于
．连接
，现在有如下四个结论：①
；②
；③
∥；④
; 其中结论正确的个数是（ ）
A.1B.2
C.3D.4
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】问题背景：如图，四边形
中，
，
，
，
，
，
为边
上一动点，连接
、
．
问题探究
（1）如图1，若
，则
的长为__________．
（2）如图2，请求出
周长的最小值；
（3）如图3，过点作
于点
，过点分别作
于
，
于点
，连接
①是否存在点，使得
的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由；
②请直接写出面积的最小值．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线
交
轴于点
，交
轴于点
，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是_____，第2019个阴影三角形的面积是_____．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于
AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于_____．
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【题目】如图，
是正方形
的对角线，
，边
在其所在直线上向右平移，将通过平移得到的线段记为
，连结
，
，并过点
作
，垂足为
，连接
和
，在平移变换过程中，设
的面积为
，
，则的最大值是________．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点．如图，在平面直角坐标系中，点
，
为抛物线
上的两个动点（在的左侧），且
轴，以
为边画矩形
，原点
在边
上．
（1）如图1，当矩形为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标．
（2）如图2，在点，的运动过程中，连结
交抛物线于点
．
①求证：点为矩形的奇特点；
②连结
，若
，抛物线上的点
为矩形的另一奇特点，求经过，，三点的圆的半径．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．
（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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