【题目】已知抛物线与x轴分别交于
,
两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1,设,当k为何值时,
.
②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.
【答案】(1),D的坐标为
;(2)①
;②以A,F,O为顶点的三角形与
相似,F点的坐标为
或
.
【解析】
(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式,可求得顶点;
(2)①由A、C、D三点的坐标求出,
,
,可得
为直角三角形,若
,则点F为AD的中点,可求出k的值;
②由条件可判断,则
,若以A,F,O为顶点的三角形与
相似,可分两种情况考虑:当
或
时,可分别求出点F的坐标.
(1)抛物线
过点
,
,
,解得:
,
抛物线解析式为
;
,
顶点D的坐标为
;
(2)①在
中,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
为直角三角形,且
,
,
F为AD的中点,
,
;
②在中,
,
在中,
,
,
,
,
,
若以A,F,O为顶点的三角形与相似,则可分两种情况考虑:
当时,
,
,
设直线BC的解析式为,
,解得:
,
直线BC的解析式为
,
直线OF的解析式为
,
设直线AD的解析式为,
,解得:
,
直线AD的解析式为
,
,解得:
,
.
当时,
,
,
,
直线OF的解析式为
,
,解得:
,
,
综合以上可得F点的坐标为或
.
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【题目】如图,在正方形中,
是
边上的一点,
,
,将正方形边
沿
折叠到
,延长
交
于
.连接
,现在有如下四个结论:①
;②
;③
∥
;④
; 其中结论正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
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【题目】问题背景:如图,四边形中,
,
,
,
,
,
为边
上一动点,连接
、
.
问题探究
(1)如图1,若,则
的长为__________.
(2)如图2,请求出周长的最小值;
(3)如图3,过点作
于点
,过点
分别作
于
,
于点
,连接
①是否存在点,使得
的面积最大?若存在,求出
面积的最大值,若不存在,请说明理由;
②请直接写出面积的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线交
轴于点
,交
轴于点
,若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形,则从左往右数第5个阴影三角形的面积是_____,第2019个阴影三角形的面积是_____.
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【题目】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于AB)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若AC=3,AB=5,则DE等于_____.
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【题目】如图,是正方形
的对角线,
,边
在其所在直线上向右平移,将通过平移得到的线段记为
,连结
,
,并过点
作
,垂足为
,连接
和
,在平移变换过程中,设
的面积为
,
,则
的最大值是________.
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【题目】矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点.如图,在平面直角坐标系中,点,
为抛物线
上的两个动点(
在
的左侧),且
轴,以
为边画矩形
,原点
在边
上.
(1)如图1,当矩形为正方形时,求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标.
(2)如图2,在点,
的运动过程中,连结
交抛物线于点
.
①求证:点为矩形的奇特点;
②连结,若
,抛物线上的点
为矩形的另一奇特点,求经过
,
,
三点的圆的半径.
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【题目】如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上.
(1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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