【题目】已知抛物线与x轴分别交于,两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1,设,当k为何值时,.
②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.
【答案】(1),D的坐标为;(2)①;②以A,F,O为顶点的三角形与相似,F点的坐标为或.
【解析】
(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式,可求得顶点;
(2)①由A、C、D三点的坐标求出,,,可得为直角三角形,若,则点F为AD的中点,可求出k的值;
②由条件可判断,则,若以A,F,O为顶点的三角形与相似,可分两种情况考虑:当或时,可分别求出点F的坐标.
(1)抛物线过点,,
,解得:,
抛物线解析式为;
,
顶点D的坐标为;
(2)①在中,,,
,
,,,
,
,
,
为直角三角形,且,
,
F为AD的中点,
,
;
②在中,,
在中,,
,
,
,
,
若以A,F,O为顶点的三角形与相似,则可分两种情况考虑:
当时,,
,
设直线BC的解析式为,
,解得:,
直线BC的解析式为,
直线OF的解析式为,
设直线AD的解析式为,
,解得:,
直线AD的解析式为,
,解得:,
.
当时,,
,
,
直线OF的解析式为,
,解得:,
,
综合以上可得F点的坐标为或.
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【题目】如图,在正方形中,是边上的一点,,,将正方形边沿折叠到,延长交于.连接,现在有如下四个结论:①;②;③∥;④; 其中结论正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
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【题目】问题背景:如图,四边形中,,,,,,为边上一动点,连接、.
问题探究
(1)如图1,若,则的长为__________.
(2)如图2,请求出周长的最小值;
(3)如图3,过点作于点,过点分别作于,于点,连接
①是否存在点,使得的面积最大?若存在,求出面积的最大值,若不存在,请说明理由;
②请直接写出面积的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线交轴于点,交轴于点,若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形,则从左往右数第5个阴影三角形的面积是_____,第2019个阴影三角形的面积是_____.
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【题目】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于AB)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若AC=3,AB=5,则DE等于_____.
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【题目】如图,是正方形的对角线,,边在其所在直线上向右平移,将通过平移得到的线段记为,连结,,并过点作,垂足为,连接和,在平移变换过程中,设的面积为,,则的最大值是________.
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【题目】矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点.如图,在平面直角坐标系中,点,为抛物线上的两个动点(在的左侧),且轴,以为边画矩形,原点在边上.
(1)如图1,当矩形为正方形时,求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标.
(2)如图2,在点,的运动过程中,连结交抛物线于点.
①求证:点为矩形的奇特点;
②连结,若,抛物线上的点为矩形的另一奇特点,求经过,,三点的圆的半径.
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【题目】如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上.
(1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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