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【题目】已知抛物线x轴分别交于两点,与y轴交于点C

1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;

2)点F是线段AD上一个动点.

①如图1,设,当k为何值时,.

②如图2,以AFO为顶点的三角形是否与相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.

【答案】1D的坐标为;(2)①;②以AFO为顶点的三角形与相似,F点的坐标为

【解析】

(1)AB两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式,可求得顶点

(2)①由ACD三点的坐标求出,可得为直角三角形,若,则点FAD的中点,可求出k的值;

②由条件可判断,则,若以AFO为顶点的三角形与相似,可分两种情况考虑:当时,可分别求出点F的坐标.

(1)抛物线过点

,解得:

抛物线解析式为

顶点D的坐标为

(2)中,

为直角三角形,且

FAD的中点,

②在中,

中,

若以AFO为顶点的三角形与相似,则可分两种情况考虑:

时,

设直线BC的解析式为

,解得:

直线BC的解析式为

直线OF的解析式为

设直线AD的解析式为

,解得:

直线AD的解析式为

,解得:

时,

直线OF的解析式为

,解得:

综合以上可得F点的坐标为

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